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正交矩阵的几何含义是什么?

01-17 18:04:09 浏览: 249次     来源:【jake推荐】     编辑:-=Jake=-

正交矩阵是方阵,行向量和列向量是正交单位向量。

行向量都是正交单位向量。任意两行正交表示两行点相乘的结果为0,并且由于它是单位矢量凤凰体育平台 ,因此任何行点相乘本身的结果为1。

对于3x3正交矩阵,每行是一个3维向量电竞下注 ,而两个3维向量正交的几何含义是这两个向量彼此垂直。

因此3x3正交矩阵的三行可以理解为3D坐标系中的三个坐标轴,以下是3 * 3正交矩阵M,

x1, x2, x3, // x轴
y1, y2, y3, // y轴
z1, z2, z3// z轴

由单位矩阵表示的三个坐标轴是笛卡尔坐标系中的x,y和z轴:

1, 0, 0, // x轴
0, 1, 0, // y轴
0, 0, 1, // z轴

将向量乘以3x3正交矩阵的几何含义是将向量从当前坐标系转换为该矩阵表示的坐标系,例如以下矩阵M1,

0, 1, 0,
1, 0, 0,
0, 0, 1,

向量(1、2,3))与右边的此矩阵M1相乘yb官网 ,以获得新的向量(2、1,3),这是将原始向量从原始坐标系转换为a新的坐标系。

新坐标系的x轴在原始坐标系中为(0,1,0)亚博直播 ,这意味着它落在原始坐标系的y轴上,

新坐标系交换原始坐标系的x和y轴施密特正交化意义,因此此正交矩阵M1作用于矢量(1,2,3),然后交换矢量的x和y分量。

——————分割线分割线分割线分割线分割线分割线————

正交矩阵的定义“行向量和列向量是正交单位向量”带来了另一个优点:正交矩阵的转置是正交矩阵的逆,比普通矩阵求逆矩阵Up简单得多。

下面解释了为什么正交矩阵的转置是正交矩阵的逆:

或者在开头提到的正交矩阵M:

x1, x2, x3, //rowx
y1, y2, y3, //rowy
z1, z2, z3, //rowz

每行都是单位长度向量,因此每行乘以1的结果。

任何两行正交是两行的点乘结果为0。

矩阵M的转置矩阵MT为:

x1, y1, z1,
x2, y2, z2,
x3, y3, z3,

施密特正交化的几何意义_施密特正交化意义_施密特正交化怎么算

将两个矩阵乘以Mmul = M * MT:

rowx * rowx,  rowx * rowy, rowx * rowz,
rowy * rowx,  rowy * rowy, rowy * rowz,
rowz * rowx,  rowz * rowy, rowz * rowz,

自身相乘的结果为1,与其他行相乘的结果为0,因此Mmul等于恒等矩阵

1, 0, 0,
0, 1, 0,
0, 0, 1,

逆矩阵的定义是逆矩阵乘以原始矩阵等于单位矩阵,所以施密特正交化意义

正交矩阵的转置是正交矩阵的逆。

老王

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